• 山本研究室について

    ゼミでは幾何学に関連するいくつかの分野の文献を輪読しています. これまでに取り上げた内容は, 曲面の微分幾何学, 双曲幾何学, 結び目理論, 3次元多様体論 などです.

  • 研究の概要

    曲線・曲面・空間に対して, その位相幾何学的性質を調べています.

    位相幾何学(Topology)

    図形を点の集合と捉えるとき, その点たちの"つながり方(=位相)"にだけ注目するという視点で, 図形の性質を調べる幾何学を位相幾何学(Topology)と呼びます. 例えば, 文字 "B"と文字 "8" を図形とみなすとき, これらは同じ位相を持つ(「同相」である)と考えます. "P", "6", "9" も同相.

    3次元多様体

    「1次元多様体」とは, 1次元の図形であり, その上の各点の十分近くでは開区間 (0,1) と同相であるものを言います. 平たく言えば, 枝分かれの無い曲線のこと. 文字 "O" や "L" は1次元多様体ですが, 文字 "P" や "T" はそうではありません.

    同様に「2次元多様体」とは, 2次元の図形であり, その上の各点の十分近くでは開円板(境界を除いた円板)と同相であるものを言います. これも平たく言えば, 枝分かれ(?)の無い曲面のこと. xy-平面や球面は2次元多様体であり, 空間内の平行でない2つの平面を合せたものは2次元多様体ではありません.

    「3次元多様体」も全く同様に定義されます. すなわち, 3次元の図形(空間)であり, その上の各点の十分近くでは開球体(境界を除いた球体)と同相であるものを言います. 我々の身の回りの空間, つまりxyz-空間は3次元多様体です. もう一つ, 基本的な3次元多様体の例を紹介します.

    2次元多様体である球面の作り方として, "2つの円板の端どうしをぴったり貼り合せる" というものを考えます. これの1次元高いバージョンは, "2つの球体の表面どうしをぴったり貼り合せる" です. この操作(実際に工作することはできませんが)によって, 「3次元球面」と呼ばれる3次元多様体が得られます.

    上記以外にも多種多様な3次元多様体が知られていますが, 全ての3次元多様体を分類することは未だ成されていません. (1次元多様体, 2次元多様体の分類は終わっています.) 私の研究は, 個々の3次元多様体の位相的性質を解析する方法として, より良いものを探求するというものです.

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